مجموعة
الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات
القدرات المنتظرة
*- توظيف الزوجية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة
حول الأعداد الصحيحة الطبيعية.
( Iمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية
-1مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية
نشاط
من بين الأعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة طبيعية
5 ، 4+16 ، 3 ، 5
2
15 ، 12 – 23 ،
3
2,15 ، 25 ،
تعريف
الأعداد .............. 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0تسمى أعدادا صحيحة طبيعية و تكون
مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية نرمز لها بـ `
` = {0;1;2;3;4;5............ →} نكتب
مصطلحات و ترميز
*- العدد 0يسمى العدد الصحيح الطبيعي المنعدم
*- مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة نرمز لها بالرمز *`
`* = { } 1; 2;3; 4;5............ →
تمرين
أتمم بأحد الرمزين ∈ أو ∉
27 * * * 24
..... ; 2..... ; 0.... ; 5.... ; 3..... ; .....
3 2
` ` ` - ` ` `
-2الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية
أنشطة
-1أعط آل الأعداد الزوجية المحصورة بين 41و 65
-2لنرمز لمجموعة الأعداد الزوجية بـ Pو مجموعة الأعداد الفردية بـ ، I
أتمم بأحد الرمزين ∈ أو ∉
2 3....P P I ; 4× × 17.... ; 4 17.... ; 0....I ; 0...P ; 5×13...I
-3ليكن aو bعددين صحيحين طبيعيين زوجيين و cو dعددين صحيحين طبيعيين فرديين
حدد زوجية الأعداد التالية)هل الأعداد زوجية أم فردية ( مع تعليل الجواب
a c + ; ; c + + d a b
تعريف
نقول إن العدد الصحيح الطبيعي aعدد زوجي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي
a k = 2 حيثk
نقول إن العدد الصحيح الطبيعي aعدد فردي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي k
a k = + 2 1 حيث
أمثلة
الأعداد ........ 8 ، 6 ، 4 ، 2 ، 0أعداد زوجية
الأعداد ........ 9 ، 7 ، 5 ، 3 ، 1أعداد فردية
ملاحظات
*- آل عدد صحيح طبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي
*- مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي
تمرين
-1ليكن nعددا صحيحا طبيعيا
أدرس زوجية آل من ) n n ( +1و ) n n + + ( ) 1 2 + + (nو 4 4 n n 2 + +1
-2ليكن nو mعددين صحيحين طبيعيين حيث ; m n
2
بين أن + m nو - m nلهما نفس الزوجية
الحل
n * -1و n +1عددان صحيحان طبيعيان متتاليان ومنه أحدهما زوجي و الآخر فردي
و التالي جداؤهما زوجي إذن ) n n ( +1زوجي
* لدينا ) n n +( + + 1 2 ) (n + ) ( = 3 n +1و التالي زوجية ) n n + + ( ) 1 2 + + (nهي زوجية n +1
إذا آان nزوجيا فان ) + n n +( + + 1 2 ) (nفرديا
إذا آان nفرديا فان ) + n n +( + + 1 2 ) (nزوجيا
فردي4 4 n n 2 + +1 ) ( فان2 2 n n 2 + ∈` و حيث أن4 4 n n 2 2 + + = 1 2(2 2 n n + ) +1 * لدينا
n -2و mعددان صحيحان طبيعيان حيث ; m n
نبين أن + m nو - m nلهما نفس الزوجية
العدد - ( ) m nيمكن أن يكون زوجيا أو فرديا
* إذا آان - ( ) m nزوجيا فانه يوجد kمن ` حيث m n - = 2kبإضافة 2nلطرفي المتفاوتة
نحصل على ) m n + = + = 2 2 k n 2(k + nوحيث أن `∈ + k nفان + m nزوجي
* إذا آان - ( ) m nفرديا فانه يوجد kمن ` حيث + m n - = 2 1 kبإضافة 2nلطرفي المتفاوتة
نحصل على m n + = + 2 2 k n +1 = 2(k + n) +1وحيث أن `∈ + k nفان + m nفرديا
إذن + m nو - m nلهما نفس الزوجية
– (IIمضاعفات عدد – قواسم عدد
(Aمضاعفات عدد
-1أنشطة
نشاط1
-1ضع الرمز × في المكان المناسب
القدرات المنتظرة
*- توظيف الزوجية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة
حول الأعداد الصحيحة الطبيعية.
( Iمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية
-1مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية
نشاط
من بين الأعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة طبيعية
5 ، 4+16 ، 3 ، 5
2
15 ، 12 – 23 ،
3
2,15 ، 25 ،
تعريف
الأعداد .............. 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0تسمى أعدادا صحيحة طبيعية و تكون
مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية نرمز لها بـ `
` = {0;1;2;3;4;5............ →} نكتب
مصطلحات و ترميز
*- العدد 0يسمى العدد الصحيح الطبيعي المنعدم
*- مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة نرمز لها بالرمز *`
`* = { } 1; 2;3; 4;5............ →
تمرين
أتمم بأحد الرمزين ∈ أو ∉
27 * * * 24
..... ; 2..... ; 0.... ; 5.... ; 3..... ; .....
3 2
` ` ` - ` ` `
-2الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية
أنشطة
-1أعط آل الأعداد الزوجية المحصورة بين 41و 65
-2لنرمز لمجموعة الأعداد الزوجية بـ Pو مجموعة الأعداد الفردية بـ ، I
أتمم بأحد الرمزين ∈ أو ∉
2 3....P P I ; 4× × 17.... ; 4 17.... ; 0....I ; 0...P ; 5×13...I
-3ليكن aو bعددين صحيحين طبيعيين زوجيين و cو dعددين صحيحين طبيعيين فرديين
حدد زوجية الأعداد التالية)هل الأعداد زوجية أم فردية ( مع تعليل الجواب
a c + ; ; c + + d a b
تعريف
نقول إن العدد الصحيح الطبيعي aعدد زوجي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي
a k = 2 حيثk
نقول إن العدد الصحيح الطبيعي aعدد فردي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي k
a k = + 2 1 حيث
أمثلة
الأعداد ........ 8 ، 6 ، 4 ، 2 ، 0أعداد زوجية
الأعداد ........ 9 ، 7 ، 5 ، 3 ، 1أعداد فردية
ملاحظات
*- آل عدد صحيح طبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي
*- مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي
تمرين
-1ليكن nعددا صحيحا طبيعيا
أدرس زوجية آل من ) n n ( +1و ) n n + + ( ) 1 2 + + (nو 4 4 n n 2 + +1
-2ليكن nو mعددين صحيحين طبيعيين حيث ; m n
2
بين أن + m nو - m nلهما نفس الزوجية
الحل
n * -1و n +1عددان صحيحان طبيعيان متتاليان ومنه أحدهما زوجي و الآخر فردي
و التالي جداؤهما زوجي إذن ) n n ( +1زوجي
* لدينا ) n n +( + + 1 2 ) (n + ) ( = 3 n +1و التالي زوجية ) n n + + ( ) 1 2 + + (nهي زوجية n +1
إذا آان nزوجيا فان ) + n n +( + + 1 2 ) (nفرديا
إذا آان nفرديا فان ) + n n +( + + 1 2 ) (nزوجيا
فردي4 4 n n 2 + +1 ) ( فان2 2 n n 2 + ∈` و حيث أن4 4 n n 2 2 + + = 1 2(2 2 n n + ) +1 * لدينا
n -2و mعددان صحيحان طبيعيان حيث ; m n
نبين أن + m nو - m nلهما نفس الزوجية
العدد - ( ) m nيمكن أن يكون زوجيا أو فرديا
* إذا آان - ( ) m nزوجيا فانه يوجد kمن ` حيث m n - = 2kبإضافة 2nلطرفي المتفاوتة
نحصل على ) m n + = + = 2 2 k n 2(k + nوحيث أن `∈ + k nفان + m nزوجي
* إذا آان - ( ) m nفرديا فانه يوجد kمن ` حيث + m n - = 2 1 kبإضافة 2nلطرفي المتفاوتة
نحصل على m n + = + 2 2 k n +1 = 2(k + n) +1وحيث أن `∈ + k nفان + m nفرديا
إذن + m nو - m nلهما نفس الزوجية
– (IIمضاعفات عدد – قواسم عدد
(Aمضاعفات عدد
-1أنشطة
نشاط1
-1ضع الرمز × في المكان المناسب
2210
|
211
|
999
|
121
|
33
|
75
|
50
|
24
|
مضاعف2
|
|||||||
مضاعف3
|
|||||||
مضاعف5
|
|||||||
مضاعف11
|
-2استخرج من بين أعداد السطر الأول المضاعفات المشترك للعددين 2و 3ثم 3و11
نشاط2
حدد المضاعفات العشرة الأولى للعدد 6ثم للعدد9
استنتج المضاعفات المشترآة من بين هذه المضاعفات
ماذا تلاحظ
) اصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين 6و 9هو . 18المضاعفات المشترآة للعددين
6و 9هي مضاعفات العدد (18
نشاط2
ليكن nعددا صحيحا طبيعيا فرديا
أ- تأآد n2 -1مضاعف للعدد 8في الحالات التالية n n = = 7 ; 5 ; n = 3 ; n = 1
ب- بين أن n2 -1مضاعف للعدد 8آيفما آان العدد الصحيح الطبيعي الفردي n
الحل
ب- ليكن nعدد صحيح طبيعي فردي أي يوجد kمن ` حيث n k = + 2 1
n k 2 -1 4 = + ( ) k 1 ومنهn n 2 -1 1 = - ( )(n +1) لدينا
وحيث أن k k ( ) +1عدد زوجي )لأنه جداء عددين متتاليين(
فانه يوجد' kمن ` حيث' k k ( + = 1 2 ) kو بالتالي' n k 2 - = 1 8
إذن n2 -1مضاعف للعدد8
3
-2تعريف
ليكن aو bعددين صحيحين طبيعيين حيث bغير منعدم
نقول إن العدد aمضاعف للعدد bإذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي kحيث a b = k
أمثلة
الأعداد 1775 ، 25 ، 20، 15 ، 10 ، 5 ، 0مضاعفات للعدد 5
22ليس مضاعف للعدد4
* -3ليكن *`∈b
مضاعفات bهي الأعداد kbحيث `∈ k
0 0 × = k *
خاصية
* لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
* للعدد 0مضاعف وحيد هو0
-4المضاعف المشترك الأصغر
تعريف
ليكن aو bعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
المضاعف المشترك الأصغر للعددين aو bهو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين
aو bنرمز له بالرمز )PPCM (a;b
PPCM (6;10) = 30 ، PPCM (4;9) = 36 أمثلة
(Bقواسم عدد
-1نشاط
حدد قواسم 90ثم قواسم 126ثم استنتج أآبر قاسم مشترك للعددين 90و 126
-2تعريف
ليكن aو bعددين صحيحين طبيعيين حيث bغير منعدم
نقول إن العدد bقاسم للعدد aإذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي kحيث a b = k
ملاحظة : العدد bقاسم للعدد aإذا وفقط إذا العدد aمضاعف للعدد b
نقول أيضا العدد aقابل للقسمة على b
• آل عدد صحيح طبيعي غير منعدم مخالفا لـ 1له على الاقل قاسمان 1و نفسه
• للعدد 1قاسم وحيد هو نفسه
• جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة تقسم 0
-3القاسم المشترك الأآبر لعددين
تعريف
ليكن aو bعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
القاسم المشترك الأآبر للعددين aو bهو اآبر قاسم مشترك لهما
نرمز له بالرمز PGCD( ) a;b
PGCD(4;9) = 1 ، PGCD(126;90) = 18 مثال
(IIIالأعداد الأولية
-1تعريف
نسمي عددا أوليا آل عدد صحيح طبيعي له قاسمان بالضبط
أمثلة )حدد الأعداد الأولية الأصغر من(40
الأعداد الأولية الأصغر من 40هي 37 ، 31 ، 29 ، 13 ، 19 ، 17 ، 13 ، 11 ، 7 ، 3 ، 2
-2التفكيك إلى جداء عوامل أولية لعدد غير أولي
مبرهنة )مقبولة(
آل عدد صحيح طبيعي (n ≥ 2) nهو عدد أولي أو جداء عوامل أولية
أمثلة
41عدد أولي
72عدد غير أولي و 72 = 8× = 9 23 2 ×3
4
تعريف
ليكن aعددا صحيحا طبيعيا غير أولي
آتابة aعلى شكل جداء عوامله أولية تسمى " التفكيك إلى جداء عوامل أولية" للعدد a
أمثلة
فكك الأعداد 1344 ، 319 ، 24إلى جداء عوامل أولية
1344 = 4 4 4 2 × × × 1= 26 ×3× 7 319 = 11× 29 و24 = 8× = 3 23 ×3
تقنية للتفكيك ) نقبلها(
لتفكيك عدد صحيح طبيعي غير منعدم aنأخذ اصغر عدد
أولي يقسم aو ننجز القسمة فنحصل على عدد bخارج القسمة فنأخذ اصغر عدد أولي يقسم bفنحصل على خارج القسمة .......و نتابع على هذا المنوال حتى نحصل على خارج يساوي .1 العدد aسيكون هو جداء جميع الأعداد الأولية التي قسمنا بها |
مثال:
1344 2 672 2 336 2 168 2 84 2 42 2 21 3 7 7 1 1344 = × 26 3×7 إذن |
-3خاصيات ) نقبلها(
خاصية1
المضاعف المشترك الأصغر لعددين هو جداء العوامل الأولية المشترآة و الغير المشترآة
بين تفكيكي هذين العددين إلى جداء عوامل أولية. المرفوعة إلى أآبر أس.
خاصية1
القاسم المشترك الأآبر لعددين هو جداء العوامل الأولية المشترآة بين تفكيكي هذين
العددين إلى جداء عوامل أولية. المرفوعة إلى أصغر أس.
PPCM ( ) a;a = a PPCM ( ) a;1 = a ، PGCD(a;a) = a ، PGCD(a;1) = 1 ملاحظات
تمرين:
PPCM ( ) 35;121 ، PGCD( ) 35;121 ، PPCM (84;216) ، PGCD(84;216) حدد
إضافات
* طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين aو bحيث ≥ a b
أحدد مضاعفات aثم أتأآد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد aهل هو مضاعف
للعدد bفإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث إن آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على
هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين aو .b
* طريقة لتحديد القاسم المشترك الأآبر للعددين aو bحيث ≥ a b
أحدد قواسم العدد bثم أتأآد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أآبر قاسم للعدد bهل هو قاسم للعدد
aفإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث ان آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا
الجواب هو القاسم المشترك الأآبر للعددين aو .b
* طريقة لتحديد ما إذا آان العدد aأوليا أم لا
نحدد أولا جميع الأعداد الأولية pحيث ≤ . p a 2
إذا آان aيقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان aغير أولي
إذا آان aلا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان aأولي
